Teilweise spukhaft

Ich hätte schwören können, dass ich in der Vergangenheit schon einmal über das dem Paretoprinzip verwandte Zipfsche Gesetz gebloggt habe, mit welchem wiederum das Benfordsche Gesetz zusammenhängt. Als ich von letzterem las, erfasste mich, das weiß ich noch, ein Unbehagen, wie es nur der (für mich) undurchsichtige Nebel der höheren Mathematik zu erzeugen vermag, ein der Numerologie inhärenter cosmic horror.

Ich habe also offenbar noch nicht darüber gebloggt, und ich habe auch nicht vor, es nachzuholen: eben weil ich mich diesem Grauen nicht erneut aussetzen will. Googelt es halt! Dafür kommt jetzt etwas aus der Welt der Teilbarkeitsregeln. Gefunden habe ich das Folgende in "Das kleine Buch der Zahlen" von Peter M. Higgins.

Möchte man wissen, ob eine Zahl a durch 3 teilbar ist, bildet man die Quersumme dieser Zahl: Wenn diese durch 3 teilbar ist, ist es auch a. So weit, so bekannt. Wissen sollte man ferner, dass jede gerade Zahl durch 2 teilbar ist. Daraus ergibt sich, dass eine Zahl b durch 6 teilbar ist, wenn die Bedingungen für durch 2 teilbare Zahlen und für durch 3 teilbare Zahlen gleichzeitig erfüllt sind. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl sind; durch 8 ist jede Zahl teilbar, deren drei letzte Stellen ein Vielfaches von 8 sind. Kopfnuss für zwischendurch, falls nicht eh noch aus der Schulzeit bekannt: Wie geht der Teilbarkeitstest für 9? Antwort: genau wie der für 3. Begründung s. Higgins, S. 48-50.

Und jetzt kommt's!!!

Wenn die Stellen einer Zahl n jeweils mit alternierendem Vorzeichen addiert werden und diese Summe durch 11 teilbar ist, dann ist n durch 11 teilbar 

Beispiel: a = 56518. Man rechne:

8 - 1 + 5 - 6 + 5 = 11
Das Ergebnis ist ein Vielfaches von 11 und somit ist 11 ein Faktor unserer Zahl a. In diesem Fall haben wir die Stellen von rechts nach links abgearbeitet. Die umgekehrte Reihenfolge führt auf dasselbe Ergebnis, allerdings mit umgekehrten Vorzeichen.

Für 11 kann man auch den folgenden Test anwenden, der für die 7 und 13 funktioniert (und zwar für diese Zahlen ausschließlich) und der mich im Gegensatz zu Mathe-Assen und anderen abgeklärten Seelen regelrecht erschüttert hat:

Sei a eine beliebige Zahl. Wir beginnen von rechts, fassen immer Blöcke von drei Stellen zusammen und bilden von diesen Blöcken die alternierende Summe s, ähnlich wie bei dem Teilbarkeitstest für 11. Die Zahl a ist genau dann durch 7 oder 13 teilbar, wenn dies für s gilt.

Machen wir die Probe aufs Exempel, mit einer möglichst großen Zahl:

a = 49 851 711

s = 711 - 851 + 049 = 91

91 ist sowohl durch 7 als auch durch 13 teilbar, also ist 49.851.711 durch 7 teilbar und durch 13 teilbar. (Ich habe die Zahl natürlich absichtlich unter Einbeziehung der Faktoren 7 und 13 gebildet. Im Buch wird die Regel an einer weder durch 7 noch durch 13 teilbaren Zahl gezeigt.)

Offene Fragen: Wer hat diese Regeln entdeckt? Warum funktionieren sie? (Okay, diese Frage wird im "Kleinen Buch der Zahlen" beantwortet, aber mein Warum ist hier eher philosophisch gemeint.) Welche abgefahrenen Teilbarkeitsregeln, etwa für große Primzahlen, sind wohl noch unbekannt?